Кут між векторами. Скалярний добуток векторів. Розв’язування задач.

 ГЕОМЕТРІЯ

Тема :  Координати і вектори в просторі

Тема уроку: Кут між векторами. Скалярний добуток векторів. Розв’язування задач.

Означення.

 Кутом між двома векторами, відкладеними від однієї точки, називається найкоротший кут, на який потрібно повернути один з векторів навколо свого початку до положення співнаправленості з іншим вектором.

Основне співвідношення.

 Косинус кута між векторами дорівнює скалярному добутку векторів, поділеному на добуток модулів векторів.

Формула обрахунку кута між векторами

cos α =	a·b
	|a|·|b|

Приклади обрахунку кута між векторами для просторових задач

Приклад 1. Знайти кут між векторами a = {3; 4; 0} і b = {4; 4; 2}.

Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:

a·b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.

Знайдемо модулі векторів:

|a| = √3² + 4² + 0² = √9 + 16 = √25 = 5
|b| = √4² + 4² + 2² = √16 + 16 + 4 = √36 = 6

Знайдемо кут між векторами:

cos α =	a · b	=	28	=	14
	|a| · |b|		5 · 6		15

Приклад 2. Знайти кут між векторами a = {1; 0; 3} і b = {5; 5; 0}.

Розв'язок: Знайдемо скалярний добуток векторів:

a·b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.

Знайдемо модулі векторів:

|a| = √1² + 0² + 3² = √1 + 9 = √10
|b| = √5² + 5² + 0² = √25 + 25 = √50 = 5√2

Знайдемо кут між векторами:

cos α =	a · b	=	5	=	1	=	√5	= 0.1√5
	|a| · |b|		√10 · 5√2		2√5		10

Формула скалярного добутку векторів для просторових задач

У випадку просторової задачі скалярний добуток векторів a = {a_x ; a_y ; a_z} і b = {b_x ; b_y ; b_z} можна знайти скориставшись наступною формулою:

a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z

Приклад обрахунку скалярного добутку векторів для просторових задач

Приклад 1. Знайти скалярний добуток векторів a = {1; 2; -5} і b = {4; 8; 1}.

Розв'язок: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 - 5 = 15.