Зображення прострових фігур на площині

 ГЕОМЕТРІЯ

Тема :  Паралельність прямих і  площин у просторі. 

Тема уроку: Зображення прострових фігур на площині

   Ми почали вивчати стереометрію – геометрію у просторі. Як завжди нам необхідно вміти зображувати геометричні фігури, причому всі креслення ми і досі  виконуємо на площині (на сторінці зошита, на дошці тощо). Яким чином  просторову фігуру (наприклад, куб) можна «вкласти» до площини? Для розв'язання цієї задачі приймається метод паралельного проектування. З'ясуємо його суть на прикладі найпростішої  геометричної фігури – точки. 

   Нехай дано довільну площину α, точку А  і пряму h, яке перетинає площину α. 

Проведемо через точку А пряму, яка паралель­на h, вона перетинає площину α у деякій точці А1. Знайдену таким способом точку А; називають паралельною проекцією точки А на площину α у напря­мі h. Пряму h називають проектуючою прямою, площину α — площиною проекцій. Щоб побудувати проекцію будь-якої фігу­ри, потрібно спроектувати на площину проекції кожну точку даної фігури.

Наведемо деякі властивості паралельного проектування.

Теорема:

Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні:

1)     відрізки зображаються відрізками;

2)     паралельні відрізки зображаються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої;

3) відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається.

Доведення

1)     Усі прямі, що проектують точки від­різка АВ, лежать в одній площині β, яка перетинає площину α по прямій А1В1.

Отже, проекцією відріз­ка є відрізок, причому довільна точка С відрізка АВ зображається точкою С1 відрізка А1В1.

2)     Нехай відрізки АВ і CD, які проектуються, паралельні. Усі пря­мі, що їх перетинають і паралельні h, заповнюють або частини од­нієї площини

або паралельних площин.

Ці частини площин перетинають площину а відповідно або по від­різках однієї прямої, або по паралельних відрізках А1В1 і С1D1.

3)     Якщо відрізки АВ і СВ, які проектують, розміщені на одній прямій , то за теоремою про пропорційні відрізки маємо:  А1С1 :С1B1 =АС:СВ.
Source: https://formula.kr.ua/paralelnist-pryamih-i-ploschin-u-prostori/paralelne-proektuvannia-ta-ioho-vlastyvosti.html

Source: https://formula.kr.ua/paralelnist-pryamih-i-ploschin-u-prostori/paralelne-proektuvannia-ta-ioho-vlastyvosti.html

Source: https://formula.kr.ua/paralelnist-pryamih-i-ploschin-u-prostori/paralelne-proektuvannia-ta-ioho-vlastyvosti.html

Якщо відрізки АВ і CD паралельні, а їх проекції А1B1 і С1D1 лежать на одній прямій , то АВВ2A2 — паралелограм. У цьому випадку       A1B1 : C1D1 = A2B2 : CD = AB : CD.

Домашнє завдання

Опрацювати конспект та виконати завдання в зошиті.

Відрізок А₁B₁ — паралельна проекція відрізка АВ на площину α. Точка С лежить на відрізку АВ.

Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які — неправильні:

а) проекція точки С на площину α не належить відрізку А₁B₁;

б) відрізки АВ і А₁В₁ не лежать в одній площині;

в) якщо AC : BC = 2 : 3, то А₁C₁ : С₁В₁ = 2 : 3;

г) якщо АС = СВ, то А₁С₁ = 2С₁В₁;

д) якщо АС = 3 см, АВ =12 см, то А₁С₁ : А₁В₁ =1: 4.