Об’єми подібних тіл.

Подібність многокутників.

Два многокутника називаються подібними, якщо вони мають відповідно рівні многогранних куті і відповідно подібні грані.

Відповідні елементи подібних багатогранників називаються спорідненими. У подібних багатогранників двогранні кути рівні і однаково розташовані; відповідні ребра пропорціональні.

Якщо в піраміді провести січну площину паралельно до основи, то вона відтинає від неї другу піраміду, подібну до даної.

Поверхні подібних багатокутників відносяться, як квадрати відповідних лінійних елементів цих багатокутників.

Подібні циліндри і конуси.

Два циліндри, конуси або зрізані конуси називаються подібними, якщо подібні їх осьові перерізи.

Об'єми подібних тіл.

Нехай Т и Т' – два простих подібних тіла. Це означає, що існує перетворення подібності, при якому тіло Т переходить у тіло Т'. Позначимо через k коефіцієнт подібності.

Розіб'ємо тіло Т на трикутні піраміди Р₁, Р₂, …, Р_n … Перетворення подібності, що переводить тіло Т у тіло Т' переводить піраміди Р₁, Р₂, …, Р_n у піраміди Р₁', Р₂', …, Р_n'. Ці піраміди складають тіло Т' й тому об'єм тіла Т' дорівнює сумі об'ємів пірамід Р₁', Р₂', …, Р_n'. Так як піраміди Р₁'й Р₁ подібні і коефіцієнт подібності дорівнює k, то відношення їхніх висот дорівнює k, а відношення площ їхніх основ дорівнює k². Отже, відношення об'ємів пірамід дорівнює k³. Так як тіло Т складено з пірамід Р₁, а тіло Т' складено з пірамід Р₁', то відношення об'ємів тіл Т' і Т теж дорівнює k³.

Число k – коефіцієнт подібності – дорівнює відношенню відстаней між будь-якими двома відповідними парами точок при перетворенні подібності. Отже, це число дорівнює відношенню будь-яких двох відповідних лінійних розмірів тіл Т' і Т. Таким чином, ми приходимо до наступного висновку:

Об'єми двох подібних тіл відносяться як куби їх відповідних лінійних розмірів.

Квадрати об'ємів подібних тіл відносяться, як куби площ відповідних граней.

Об'єми подібних циліндрів, конусів і зрізаних конусів відносяться, як куби їх відповідних лінійних елементів (радіусів основ, висот, твірних).

Об'єми куль відносяться, як куби їх радіусів або діаметрів.

ЗАДАЧА:Площі основ зрізаної піраміди S₁ і S₂, а її об'єм V. Визначити об'єм повної піраміди.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай S₁ > S₂. Позначимо об'єм повної піраміди через V₁, об'єм піраміди, що доповнює дану зрізану піраміду до повної, через V₂. Тоді:

або

Складаючи похідну пропорцію, дістанемо:

Враховуючи, що

V₁ – V₂= V,

знаходимо:

Звідки:

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА: Площі основ зрізаної піраміди дорівнюють а² і b². Знайти площу перерізу, що паралельний до площин основ зрізаної піраміди і ділить її об'єм пополам.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В зрізаній піраміді АС₁ (для простоти рисунка розглядається трикутна піраміда) дано: