Основні поняття теорії ймовірностей.Операції над подіями. Ймовірність суми несумісних подій.
АЛГЕБРА
Тема 3: Початки теорії ймовірностей
Урок 21-22 Основні поняття теорії ймовірностей. Операції над подіями. Ймовірність суми несумісних подій.
http://zno.academia.in.ua/mod/book/view.php?id=3242
https://web.posibnyky.vntu.edu.ua/fitki/4tichinska_teoriya_jmovirnostej/1.htm
Тема 3: Початки теорії ймовірностей
Урок 21-22 Основні поняття теорії ймовірностей. Операції над подіями. Ймовірність суми несумісних подій.
http://zno.academia.in.ua/mod/book/view.php?id=3242
https://web.posibnyky.vntu.edu.ua/fitki/4tichinska_teoriya_jmovirnostej/1.htm
Класичне означення ймовірності
Для кількісного вимірювання появи випадкових подій і їх комбінацій вводиться поняття ймовірності події, що є числом такої ж природи, як відстань у геометрії або маса в теоретичній механіці.
Імовірністю випадкової події А називається невід'ємне число Р(А) що дорівнює відношенню числа елементарних подій які сприяють появі А до кількості всіх елементарних подій простору
:
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-kKZ1pv.png)
Для неможливої події
(
). Для вірогідної події
. Отже, для довільної випадкової події
(оскільки 0 <m < n).
Приклад. У ящику міститься 15 однотипних деталей, із яких 6 бракованих, а решта — стандартні. Навмання з ящика береться одна деталь. Яка ймовірність того, що вона буде стандартною?
Розв'язання.
Число всіх рівноможливих елементарних подій для цього експерименту:
=15.
Нехай А — подія, що полягає в появі стандартної деталі. Число елементарних подій, що сприяють появі випадкової події А, дорівнює дев'яти (
= 9). Згідно з формулою маємо:
.
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-KILw1T.png)
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-g0perZ.png)
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-sVMpmb.png)
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-nHaNHz.png)
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-JHrMrf.png)
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-t9L7TV.png)
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-ZuvmSH.png)
Операції над подіями
Додавання. Сумою двох подій А і В називається така подія С=А
В (С=А + В), яка внаслідок експерименту настає з настаннямхоча б однієї з подій А або В. Подію А
В схематично зображено на рис. 1 заштрихованою областю.
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-PHWYJM.png)
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-MgvVq_.png)
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-YPj43k.png)
Рис. 1 Операція об 'єднання подій А і В.
Множення. Добутком двох подій А і В називається така подія С = А
В (С = АВ), яка внаслідок експерименту настає з одночасним настанням подій А і В.
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-PokEOt.png)
Операція А
В називається перерізом цих подій (рис. 2).
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-wtnJI4.png)
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-1lg7pv.png)
Рис. 2. Переріз подій А і В.
Приклад. Перерізом подій А = {2, 4, 6, 8, 10, 12} і В = {3, 6, 9, 12} є подія С1 = {6}, а сумою є подія С2 = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}.
Якщо
, то випадкові події А і В називають несумісними. Якщо
, то такі випадкові події А і В називають сумісними.
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-4ndCQg.png)
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-s2xFaE.png)
Повна група подій. Якщо
, то такі випадкові події утворюють повну групу, а саме: внаслідок експерименту якась із подій {Аi} обов'язково настане.
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-l8HTGI.png)
Протилежні події. Дві несумісні випадкові події, що утворюють повну групу, називають протилежними.
Подія, яка протилежна А, позначається
. Протилежні події у просторі елементарних подій ілюструє рис. 3.
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-OalegP.png)
![](https://studfile.net/html/2706/991/html_KxvMiczCxD.69fB/img-y65YbO.png)
Елементарні випадкові події задовольняють такі твердження: 1) між собою несумісні; 2) утворюють повну групу; 3) є рівноможливими, а саме: усі елементарні події мають однакові можливості відбутися внаслідок проведення одного експерименту.
Питання для самоконтролю
- Що називається вірогідною; неможливою подією? Навести приклади.
- Яка подія називається випадковою? Навести приклади.
- Яка подія називається елементарною; складеною випадковою подією? Навести приклади.
- Що називається простором елементарних подій? Навести приклади.
- Що називається сумою, добутком, різницею двох випадкових подій А і В?